冯玮（wfeng@zju.edu.cn）
引言
一种建立在稀疏特性基础上的新型的采样理论。
研究历史
石光明等综述了CS理论框架及关键技术问题，并着重介绍了信号稀疏变换、观测矩阵设计和重构算法三个方面的最新进展, 评述了其中的公开问题, 对研究中现存的难点问题进行了探讨, 最后介绍了 CS 理论的应用领域 [1]。
Candes[2]，Romberg，Tao[3]和Donoho[4]等人构造了具体的算法。
研究问题
基础
可压缩信号向量${\bf x}_{M \times 1}$和压缩后信号向量${\mathbf y}_{N \times 1}$具有如下线性关系
$$
\bf{y} = \bf{A} \bf{x},
$$
其中$\bf{A}=\bf{\Psi} \bf{\Phi}$为字典矩阵，包含感知矩阵${\bf \Psi}_{M \times N}$和表示矩阵${\bf\Phi}_{N \times N}$两部分组成，并且$M < N$，${\mathbf y}$实现了对${\mathbf x}$的稀疏表示。若$\bf{A}$满足约束等距条件，则可由观测信号${\mathbf y}$重构源信号${\mathbf x}$。
感知矩阵
如何设计感知矩阵${\bf \Psi}$
稀疏矩阵方程求解
求解稀疏矩阵方程，重构源信号，重构算法可分为三大类[1]：
贪婪追踪算法：匹配追踪（Matching Pursuit, MP）算法，收敛速度快，不是全局最优解。改进算法：正交匹配追踪（OMP）。
凸松弛法：基追踪（Basis Pursuit, BP）算法，具有全局最优解，计算复杂度高。内点法、梯度投影法。
组合算法。
感知矩阵与恢复性能关系
感知矩阵与稀疏变换基的不相干特性
感知矩阵列之间的相干性[5]
实际应用
声纳[6]与雷达
图像采集
参考文献
- 1.石光明, 刘丹华, 高大化, 刘哲, 林杰, and 王良君, “压缩感知理论及其研究进展,” 电子学报, vol. 37, no. 5, pp. 1070–1081, 2009. ↩
- 2.E. J. Candes and M. B. Wakin, “An Introduction To Compressive Sampling,” IEEE Signal Processing Magazine, vol. 25, no. 2, pp. 21–30, Mar. 2008. ↩
- 3.E. J. Candes and T. Tao, “Near-Optimal Signal Recovery From Random Projections: Universal Encoding Strategies?,” IEEE Transactions on Information Theory, vol. 52, no. 12, pp. 5406–5425, Dec. 2006. ↩
- 4.D. L. Donoho, “Compressed sensing,” IEEE Transactions on Information Theory, vol. 52, no. 4, pp. 1289–1306, Apr. 2006. ↩
- 5.Z. Zhang and B. D. Rao, “Extension of SBL Algorithms for the Recovery of Block Sparse Signals With Intra-Block Correlation,” IEEE Trans Signal Process, vol. 61, no. 8, pp. 2009–2015, Apr. 2013. ↩
- 6.A. Xenaki, P. Gerstoft, and K. Mosegaard, “Compressive beamforming,” The Journal of the Acoustical Society of America, vol. 136, no. 1, pp. 260–271, Jul. 2014. DOI ↩